WisFaq!

Re: Jordan normaalvorm

Beste,

wanneer je nu de JordanNormaalvorm JN hebt,
dan zijn JN en A gelijksoortig.
Hoe bereken je dan de matrix Q die ervoor zorgt dat:

JN=Q^-1.A.Q ?

mvg,

Timo
27-5-2011

Antwoord

Hallo, Timo.

Stel dat A de matrix is van een lineaire transformatie T van Rⁿ op de natuurlijke basis e.

Er is een basis f zodat de matrix van T op basis f de JordanNormaalvorm heeft, dus gelijk is aan JN.

Uw vergelijking JN = Q^-1 A Q noteert men in termen van T en e en f als volgt:

[T]_f = [I]_f,e [T]_e [I]_e,f , waarbij I de identieke lineaire transformatie is (die elk element van Rⁿ op zichzelf afbeeldt).

Dus Q is de matrix [I]_e,f van I van basis f naar basis e, dwz in de j-de kolom van Q staan de coördinaten van de j-de basisvector f_j tov de natuurlijke basis e.

Het gaat er dus om de basis f te vinden waarop T de JordanNormaalvorm aanneemt.
Als er een basis van eigenvectoren van T bestaat, dan is f zulk een basis van eigenvectoren en JN een diagonaalmatrix met op de diagonaal de eigenwaarden.
Anders is het ingewikkelder, zoals in het voorbeeld van Koen Mahieu.

hr
1-6-2011