WisFaq!

Verband projectie en projectielijn

hoihoi, er staat iets in de theorievragen(die dus geen huiswerk zijn maar het denken erover het duidelijker horen te maken), dat zou ik moeten begrijpen maar ik begrijp het niet.

Stel y is een projectie van x ergens op.
Er zou een verband moeten zijn tussen ||y||² en y.x
(Oftewel y.y en y.x)
Ik kom nog wel zo ver te bedenken dat y.y y.x, maar wat voor verband het is, en waarom? Ik vermoed kwadratisch.

bij voorbaat dank

Ingrid
14-11-2010

Antwoord

Ik neem aan dat het hier gaat om een lineaire ruimte met inproduct, en dat men met 'projectie' bedoelt: 'orthogonale projectie'.

Voor alle vectoren x en y geldt:

(1) y.x = ||y|| ||x|| cosj, waarbij j de hoek is tussen x en y.

Indien nu y de projectie is van x op een of andere vector, dan geldt tevens

(2) ||y|| = ||x|| cosj, dus ook

(3) ||y||² = ||x||²cos²j.

Door (1) en (2) te combineren vindt men

(4) y.x =||x||²cos²j.

Door (3) en (4) te combineren vindt men dat in dit geval

(5) ||y||² = y.x geldt.

hr
19-11-2010