WisFaq!

Venn-diagram

Hai!
Ik heb een vraag of dit klopt.
Ik bedoel is het genoeg?
Bewijs dat A$\cup$B=A$\cap$B als en alleen als A=B
1. Als A$\cup$B=A$\cap$B dan A=B.
2. Als A=B dan A$\cup$B=A$\cap$B.

1. Laat x$\in$((A$\cup$B)=(A$\cap$B)) dus x$\in$A$\cup$B en x$\in$A$\cap$B. En dus is x$\in$A en x$\in$B Dus x$\in$A=B

2. We nemen aan dat A=B. Dus x$\in$A en x$\in$B. Aangezien x$\in$A=B is, is AÍB en BÍA dus is A$\cup$B=A$\cap$B.
Q.E.D

Kan dit ???

Alvast bedankt!

Treintje
7-11-2010

Antwoord

Laten we eerst uitgaan van de veronderstelling A = B.
Dan is A$\cup$B = A$\cup$A = A en A$\cap$B = A$\cap$A = A zodat A$\cup$B = A$\cap$B

Nu andersom: we gaan dus uit van de veronderstelling dat de doorsnede en de vereniging van A en B gelijk zijn.
Kies een element x$\in$A. Dan geldt per definitie x$\in$A$\cup$B dus geldt dan ook x$\in$A$\cap$B, dús x$\in$B waaruit we concluderen dat AÍB.
Volmaakt analoog geldt: als x$\in$B dan ook x$\in$A, zodat BÍA.
Uit beide resultaten volgt dus A = B.

Je eigen eerste bewijs eindigt vreemd. Uit x$\in$A en x$\in$B trek je m.i. de conclusie dat A = B, maar je kunt slechts concluderen dat x$\in$A$\cap$B.
Maar dat stond al vast!

MBL
8-11-2010