WisFaq!

Bewijzen van de constructie van een ellips

Op http://www.pandd.nl/ellips/ellips6.htm is er een constructie uitgelegd om een ellips te maken. De begrijp ik. De stelling van Pascal is mij bekend, ookal zal ik hem vast niet geheel doorgrond hebben. Nu zocht ik het bewijs van deze constructie. Weet iemand deze (te vinden) of op een andere manier te helpen?
Met vriendelijke groeten

Jeroen
15-10-2010

Antwoord

Gegeven zijn vijf punten A,B,C,D,E van een niet-ontaarde ellips.
Er is precies één ellips door deze vijf punten.
De andere punten van de ellips kunnen één voor één worden geconstrueerd, als volgt:
Trek een willekeurige lijn m door A. Deze lijn m snijdt de ellips nog in een tweede punt X. (Alleen in één uitzonderlijk geval, namelijk als de getrokken lijn m toevallig de raaklijn is, is X=A.)
We kunnen X construeren door de stelling van Pascal toe te passen op zeshoek
A B C
D E X.
Dit gaat dus als volgt:
1) Construeer de pascallijn p van de zeszijde.
Dit is de lijn door AE.BD en AX.CD, waarbij AX=m.
2) Omdat BX.CE volgens Pascal ook op p ligt, dus BX.CE = p.CE, vindt men X door p.CE te verbinden met B en de verbindingslijn te snijden met m.

hr
19-10-2010