WisFaq!

Bewijs van een equivalentie relatie

Ik moet het volgende bewijzen met axioma's:

( (a,b)~(a',b') ) == (a+b' = a'+b)

Dus je moet laten zien dat de relatie (a,b) ~ (c,d) gegeven door a+d = b+c een equivalentie relatie is.
Hierbij zijn a,b,c,d natuurlijke getallen.

Een equivalentie relatie bewijs je, door te bewijzen dat het reflexief, symmetrisch en transitief is.

Maar hoe doe je dit?
Alvast bedankt!

Melissa
26-9-2010

Antwoord

Door de drie eigenschappen na te gaan
1. Geldt (a,b)~(a,b) voor alle (a,b)?
2. Als (a,b)~(c,d) geldt, geldt dan ook (c,d)~(a,b)?
3. Als (a,b)~(c,d) en (c,d)~(e,f) gelden, geldt dan ook (a,b)~(e,f)?
Bijvoorbeeld 3: (a,b)~(c,d) betekent a+d=b+c en (c,d)~(e,f) betekent c+f=d+e; de vraag is nu of uit deze gelijkheden volgt dat a+f=b+e. Welnu, tel de beide gelijkheden bij elkaar op: (a+d)+(c+f)=(b+c)+(d+e); kun je hier uit afleiden dat a+f=b+e? (Denk aan de schrapwet voor .)
De andere twee zijn eenvoudiger.

kphart
27-9-2010