* de def. van de afgeleide van een functie gedefinieerd door f(x) is lim h®0 {f(x+h)-f(x)}/h
* (a+b)n=åi=0 tot n{n boven i}an-ibi
= 1.anb0 + n.an-1b1 + 1/2n(n-1).an-2b2 + ...
= an + n.an-1b + 1/2n(n-1)an-2b2 + ...
Welnu, luidt je functievoorschrift f(x)=xn
dan wordt de afgeleide gedefinieerd door:
f'(x)=lim h®0 {(x+h)n - xn}/h
de eerste term in de teller, (x+h)n kun je vergelijken met wat ik hiervoor gezegd heb over (a+b)n
Dus (x+h)n= xn + n.xn-1h + 1/2n(n-1)xn-2h2 + ...
Je ziet dus gelijk dat in de teller van de breuk de termen xn tegen elkaar wegvallen.
Wat je overhoudt is dus:
f'(x)=limh®0 (n.xn-1h + 1/2n(n-1)xn-2h2 + ...)/h
(nu delen door h)
= limh®0 (n.xn-1 + 1/2n(n-1)xn-2.h + ...)
Wanneer je nu de limiet daadwerkelijk toepast, valt alles met een h erin, "in het niet", en hou je dus n.xn-1 over
Zodoende is van f(x)=xn
f'(x)=n.xn-1
2.
Er is geen eenduidige manier van 2e-orde diff.vergelijkingen oplossen.
Voorbeelden:
f"(x)=a Þ f'(x)=ax+b Þ f(x)=1/2ax2+bx+c
f"(x)+a.f(x)=0 Þ f(x)=A.cos(x
a) + B.sin(xa) (deze dv komt voor bij harmonische trillingen) f"(x)+af'(x)+bf(x)=0 geeft iets als
f(x)=A.eqx.cos(wx+f)
(deze dv komt voor bij gedempte trillingen)
Zoals je ziet: het hangt van de vorm van de 2e-orde dv af, wat voor 'n soort oplossing eruit moet komen, er bestaat niet EEN bepaald format voor.
groeten,
martijn
mg
1-1-2003