WisFaq!

Dubbelintegraal van een ring

Vraagstuk
---------
Bereken de volgende integraal door gebruik te maken van een gepaste verandering van variabelen:

òòG sin(x²-4x+4+y²+2y+1)d(x,y) waar G de ring is met middelpunt (2,-1), buitenste straal 2 en binnenste straal 1.

Wat heb ik al
-------------
òòG sin(x²-4x+4+y²+2y+1)d(x,y)

= òòG sin[(x-2)²+(y+1)²)d(x,y)

Verandering van variabelen
--------------------------
x = 2 + rcos(t)
y = -1 + rsin(t)

Invullen en uitwerken
---------------------
= òòG sin[(rcos(t))²+(rsin(t))²]drdt
= òòG sin(r²)drdt
= ò sin(r²)dt · ò dt
= ?? · [t]

Concrete vraag
--------------
· Wat zijn de grenzen? x(0,4) en y(-3,1) mits dan op de een of andere manier rekening te houden met het "gat" in het midden? Deze oppervlakte er dan aftrekken?

· Hoe bepaal je die integraal van sin(r²)dr zonder te gaan werken met MacLaurinreeksen of Fresnelse integralen? Aangezien we die eigenlijk nog niet hebben gezien en dus ook niet zouden mogen gebruiken (:

Alvast bedankt!
Mvg

Kristoff
14-3-2010

Antwoord

r ligt tussen 1 en 2,toch? en je gaat de ring helemaal rond, dus t gaat van 0 tot 2Pi. Verder ben de Jacobiaan vergeten en die is gelijk aan r

kphart
14-3-2010