WisFaq!

Differentievergelijking

Kan u mij op weg helpen om de volgende vraag op te lossen:
bepaal de algemene oplossing van het stelsel differentievergelijking:
x(n+1)= y(n)+ n en y(n+1)=x(n)- n
dank u

filip
26-12-2002

Antwoord

De algemene oplossing van het stel differentievergelijkingen:
(1) (x(n+1), y(n+1)) = (y(n) +n, x(n) - n)) krijg je door een (willekeurig) beginpunt te kiezen: (x(0),y(0)) = (a,b) en dan gewoon maar invullen in (1), n = 0, 1, 2, ..., Je krijgt dan:

(x(1), y(1)) = (b, a) , (want (x(0+1),y(0+1)) = (y(0) + 0, x(0) - 0) = (b, a) )
(x(2), y(2)) = (a+1, b-1)
(x(3), y(3)) = (b+1, a-1)
(x(4), y(4)) = (a+2, b-2)
enz.

Je ziet nu wel de regelmaat: Voor n even, n = 2k: x(2k) = a + k; y(2k) = b - k
Voor n = 2k +1, x(n) = b + k, y(n) = a - k.
Dit is dus gevonden door gewoon te proberen, heel simpel. Maar dat is altijd het beste wat je kunt doen. Je bent dan gewoon lekker bezig en allicht vindt je de weg.

Je kunt ook iets meer systematisch te werk gaan. Uit het stel gekoppelde vergelijkingen voor x en y kun je vergelijkingen voor x en y apart afleiden. Dat gaat zo:
De vergelijkingen
(2) x(n+1) = y(n) + n,
(3) y(n+1) = x(n) - n,
gelden voor iedere n, dus ook als we n door n-1 vervangen:
(4) x(n) = y(n-1) + n - 1
(5) y(n) = x(n-1) - n + 1
Vul (5) in in (2), dan krijg je : x(n+1) = x(n-1) + 1 en dus ook
(6) x(n+2) = x(n) + 1, en op de zelfde manier (door (4) in te vullen in (3) ) :
(7) y(n+2) = y(n) - 1

Met (6) en (7) kun je nu nog eenvoudiger de oplosingen vinden: Kies maar een startpunt, x(0) = a; y(0) = b, met (2) en (3) vind je dan x(1) = b en y(1) = a en met (6) vind je dan direct x(n ) voor alle even waarden van n en net zo voor alle oneven n.

Door (2) en (3) op te tellen vind je nog : X(n+1) + y(n+1) = x(n) + y(n) =...= a + b is constant, dus alle punten (x(n), y(n)) liggen op de lijn x+y = a+b. Teken maar eens een aantal van die punten om te zien hoe de rij punten
beweegt. Succes ermee. Gegroet.

JCS
29-12-2002