WisFaq!

Oplossen beginvoorwaardenprobleem

Gegeven:
Een vloeistoftank met een capaciteit van 500 liter bevat aanvankelijk 100 liter zuiver water. Tijdens de eerste fase stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van 0.5 kg per liter de tank binnen aan een debiet van 10 liter per minuut. Het door roeren homogeen mengsel verlaat de tank met een debiet van 5 liter per minuut. De eerste fase stopt op het moment dat de tank volledig gevuld is. Tijdens de tweede fase is het instromend water zuiver. Het uitstroomdebiet blijft onveranderd, terwijl het instroomdebiet teruggebracht wordt op eveneens 5 liter per minuut.

Gevraagd:

• Bepaal op elk ogenblik van de eerste fase de hoeveelheid zout in de tank.
• Hoelang moet de tweede fase duren om de hoeveelheid zout die in de tank aanwezig was na het beeindigen van de eerste fase met de helft te verminderen?
• Schets de grafiek van het volledige verloop van de hoeveelheid zout in de tank.

Dit is de vraag, nu ik heb de differentiaalvergelijking wel:

dQ/dt = 5 - Q/(20+t)
Q(0) = 0

Maar ik weet niet hoe ik de DV moet oplossen...

De gereduceerde hiervan:
dQ/dt + Q/(20+t) = 0 heeft als algemene oplossing:
y = ^c/_{20 + t}

Maar.. wat dan? (voor dus de oplossing van de volledige DV te vinden)

Mvg

Pieter
8-1-2010

Antwoord

Ik heb verder niet naar je verhaal gekeken en omdat het zo lang geduurd heeft geef ik je een complete oplossing. Het ging je vooral om de particuliere oplossing denk ik.

$\eqalign{
& \frac{{dQ}}{{dt}} = 5 - \frac{Q}{{20 + t}} \Rightarrow \frac{{dQ}}{{dt}} = - \frac{1}{{20 + t}} \cdot Q + 5 \cr
& Lineaire\,\,DV \cr
& Gereduceerde\,\,vergelijking\,\,oplossen: \cr
& \frac{{dQ}}{{dt}} = - \frac{1}{{20 + t}} \cdot Q \cr
& \frac{1}{Q}dQ = - \frac{1}{{20 + t}}dt \cr
& \int {\frac{1}{Q}dQ} = \int { - \frac{1}{{20 + t}}dt} \cr
& \ln \left| Q \right| = - \ln \left| {20 + t} \right| + C \cr
& \ln \left| Q \right| = \ln \left| {\frac{1}{{20 + t}}} \right| + \ln \left( {{e^C}} \right) \cr
& \ln \left| Q \right| = \ln \left| {\frac{{{e^C}}}{{20 + t}}} \right| \cr
& Q = \frac{{{C_1}}}{{20 + t}} \cr
& Neem\,\,\,Q = \frac{{C(t)}}{{20 + t}} \to \frac{{dQ}}{{dt}} = C'(t) \cdot \frac{1}{{20 + t}} - C(t) \cdot \frac{1}{{{{\left( {20 + t} \right)}^2}}} \cr
& Invullen\,\,in\,\,\frac{{dQ}}{{dt}} = - \frac{1}{{20 + t}} \cdot Q + 5\,\,geeft: \cr
& C'(t) \cdot \frac{1}{{20 + t}} - C(t) \cdot \frac{1}{{{{\left( {20 + t} \right)}^2}}} = - \frac{1}{{20 + t}} \cdot \frac{{C(t)}}{{20 + t}} + 5 \cr
& C'(t) \cdot \frac{1}{{20 + t}} = 5 \cr
& C'(t) = 100 + 5t \cr
& C(t) = 100t + 2\frac{1}{2}{t^2} + {C_2} \cr
& Opl.:\,\,Q = \frac{{100t + 2\frac{1}{2}{t^2} + {C_2}}}{{20 + t}} \cr} $

Hopelijk herken je er iets van en helpt het... en je moet natuurlijk nog even naar je randvoorwaarde kijken voor de waarde van C₂, maar dat stelt verder 'weinig' voor.

WvR
18-1-2010