WisFaq!

Re: Meetbare verzamelingen

Hai,

Bedankt voor uw uitleg.

In mijn boek kan ik alleen niks over boven- en onderintegralen vinden...
Ik heb dus nog wat vraagjes...

In het geval van c=0, begrijp ik dan goed dat iedere verzameling van X meetbaar is... maar niet integreerbaar??? Waarom heten die verzamelingen dan f-meetbaar??? Want voor integreerbaarheid moet die verzameling toch iig in A zitten??? Voor Y in A_fin geldt: f(1_Y)=m(Y) Dus voor verzamelingen die niet in A_fin zitten geldt dat niet... en toch noem je ze f-meetbaar???

I'm confused...

j
6-9-2009

Antwoord

Als je een sigma-algebra A en daarop een maat m hebt kun je je afvragen of je een grotere sigma-algebra B kunt maken en maat l op B die een uitbreiding is van m.
Wat in je boek uitgelegd zou moeten zijn is dat er een natuurlijke kandidaat voor B is: de familie der m-meetbare verzamelingen. Je definieert eerst voor elke deelverzameling H van X zijn uitwendige maat m*(H) als het infimum van alle getallen m(M) met M in A en H een deelverzameling van M. Dan wordt H m-meetbaar genoemd als m*(K)=m*(K doorsnede H)+m*(K minus H) voor alle deelverzamelingen K van X.
Je kunt bewijzen dat elk element van A in deze zin m-meetbaar is; dat de m-meetbare verzamelingen een sigma-algebra vormen en dat je m kunt uitbreiden tot een maat op die sigma-algebra.
In het geval c=0 geldt natuurlijk m*(H)=0 voor alle H en dan is het snel in te zien dat elke verzameling m-meetbaar is. Als c0 dan voldoen alleen de lege en de hele verzameling aan de voorwaarde.

Ik had het eerste antwoord in termen van integralen geformuleerd omdat je vraag die kant op ging.

kphart
10-9-2009