WisFaq!

Poissonverdeling - integraal recursief berekenen

hoe laat je zien dat voor een poissonverdeelde toevalsvariabele met parameter lambda (> 0)de waarschijnlijkheid dat P(X<=n)= 1/n!integraal over lambda tot oneindig e tot de macht -x x tot de macht n dx is?
De hint die gegeven werd is gebruik maken van integration by parts. Dank!!!

remco
16-12-2002

Antwoord

Hoi,

Bij een Poission-verdeling hebben we:
p_k=l^k.e^-l/k!

Je stelling is dat
P(Xn)=sum(p_k,k=0..n)=int(e^-x.xⁿ,x=l..¥)/n!.

Welnu,
noem I_n=int(e^-x.xⁿ,x=l..¥), dan hebben we:

I_n = -int(xⁿ.d(e^-x)) = -[xⁿ.e^-x,x=l,x=¥]+int(e^-x.n.x^n-1) (part.integratie - sorry voor notatie)

Bemerk dat lim(xⁿ.e^-x,x®¥)=0, zodat
I_n = lⁿ.e^-l+n.int(e^-x.x^n-1) = lⁿ.e^-l+n.I_n-1 en dus:
I_n/n! = lⁿ.e^-l/n!+I_n-1/(n-1)!

Je rekent na dat I₀=e^-l, zodat:
I_n/n! = lⁿ.e^-l/n!+l^n-1.e^-l/(n-1)!+l^n-2.e^-l/(n-2)!+ ... + l.e^-l/1!+1.e^-l/0!
En dus:
I_n/n! = sum(l^k.e^-l/k!,k=0..n) = sum(p_k,k=0..n) (QED).

Groetjes,
Johan

andros
20-12-2002