WisFaq!

Re: Integraal van 1/(1-x²) bepalen

Twee vragen!
1)Na de zinsnede: Gebruik makend van de regel "a²-b²=(a+b)(a-b)" noteert u: Int 1+x/(1-x)(1+x)dx. Mijn vraag is: waarom mag je 1+x in teller en noemer niet degen elkaar wegdelen of strepen?
2)In de laatste regel zet u "ln|sqr(1+x/1-x)|", om in tanh^-1(x). Daar is niets mis mee; alleen heb ik dat op school nooit geleerd, helaas. Waar kan ik de theorie hierover raadplegen, s.v.p.?
Bij voorbaat heel veel dank!

Johan uit de Bos
5-9-2009

Antwoord

Beste Johan,

1) Je mag die factoren wegdelen, maar ik had het op die manier geschreven om de substitutiemethode aan te tonen. Integralen zijn namelijk niet altijd te vereenvoudigen, en dan is het handiger om de substitutiemethode duidelijk uitgelegd te krijgen. Maar je hebt gelijk: waarom moeilijk doen als het makkelijk kan?

2) Meer informatie over de inverse tangenshyperbolicus kunt u op Mathworld of op Wikipedia vinden.
Het is namelijk zo dat (arctanh(x) + c)' = 1/(1-x²) en dus ņ(arctanh(x) + c)' dx = ņ(1/(1-x²)) dx met andere woorden arctanh(x) + c = ņ1/(1-x²).
Nu kun je je afvragen waarom dat de afgeleide van arctanh(x) gelijk is aan 1/(1-x²), want zonder dit gegeven zou bovenstaande afleiding ook 'zomaar uit de lucht komen vallen'. Dit kun je als volgt bewijzen:
Zij f(x) = arctanh(x) en g(x) = tanh(x), dan moet gelden dat f(g(x)) = x, mits x reėel is. Dus als we linker- en rechterlid afleiden, moet gelden dat (f(g(x)))' = x' oftewel m.b.v. kettingregel f'(g(x))¢®¢“g'(x) = 1 links en rechts door g'(x) delen levert
f'(g(x)) = 1/(g'(x)). Nu is g'(x) = (tanh(x))' = 1/(cosh²x) (zie hiervoor bijvoorbeeld Math2.org).
Dus f'(g(x)) = 1/(1/cosh²x) en cosh²x - sinh²x = 1, dus staat er
f'(g(x)) = 1/((cosh²x - sinh²x)/cosh²x) = 1/(1 - tanh²x)
m.a.w. f'(tanh(x)) = 1/(1 - tanh²x). Laten we nu tanh(x) = p, dan staat er f'(p) = 1/(1 - p²), wat we moesten aantonen.

En aangezien we via de afleiding van het vorige antwoord te weten kwamen dat die integraal ook als primitieve ln|Ö(^(1+x)/_(1-x))| + c heeft, moet dus gelden beiden vormen equivalent moeten zijn (op een constante na). Een alternatief antwoord, en volgens mij bedoelde je dit ook, is op Karlscalculus.org onder het kopje "Inverse Hyperbolic Functions"  te lezen.

Gr. Davy.

Davy
5-9-2009