WisFaq!

Limiet van een goniometrische en een logaritmische functie

De berekening van de limiet bij volgende opgaven lukt me niet. Wat ik ook probeer, ik krijg de onbepaaldheid niet weg.
Zijn er algemene tips om onbepaaldheiden weg te werken?

1)
lim ((sin²(2x))/(x·tg(7x)))
x®0

2)
lim ((log3(1+(3^x)))/(2^x))
x®-¥

Een stapje om op weg te geraken zou waarschijnlijk al veel helpen.
Dank bij voorbaat.

Student C
14-8-2009

Antwoord

Hallo

1)
Vermenigvuldig teller en noemer met x :

((x.sin²(2x))/(x².tg(7x))

Schrijf deze breuk als een product van 2 breuken :
^sin2(2x)/_x² . ^x/_tg(7x) =

^4.sin2(2x)/_(2x)² . ^7x/_7.tg(7x)

Pas nu voor de eerste breuk de eigenschap toe :
lim ^sin(z)/_z = 1
z®0

Ook voor de tangens (en dus voor de tweede breuk) geldt deze eigenschap.
Je vindt dan als oplossing : ⁴/₇

2)
Ik kan niet zien wat het grondtal is, maar eigenlijk speelt dit geen rol bij de oplossing van de onbepaaldheid. Je kunt de log(1+3^x) altijd omzetten naar ln(1+3^x).
Pas de regel van d'Hôpital toe :

lim(^ln(1+3x)/_2^x) =
(d'Hôpital en herleid naar één breuk)

lim(^3x.ln3/_{(1+3^x).2^x.ln2}) =

^ln3/_ln2.lim(^(3/₂)x/_(1+3^x))

Voor x®-¥ wordt de teller gelijk aan 0, en de noemer wordt gelijk aan 1, dus de limiet is gelijk aan 0

LL
15-8-2009