WisFaq!

Binomiale gemiddelde

Zouden jullie het binomiale gemiddelde voor me kunnen afleiden van uit

_   1 k = E   k.P     00     k  

Ik hoop dat het duidelijk genoeg is.
Ik loop namelijk vast bij het gedeelte dat ze termen voor
de E gaan zetten.

Alvast bedankt

Maikel
15-12-2002

Antwoord

Hoi,

We noteren C(n,k)=n!/[k!.(n-k)!].

De bionomiaalverdeling is gegeven door p_k=C(n,k).p^k.(1-p)^n-k. Dit stelt de kans voor op k successen bij n trekkingen, terwijl de kans op succes p is. (zie ook http://mathworld.wolfram.com/BinomialDistribution.html)

Gevraagd is de gemiddelde waarde E=sum(k.p_k,k=0..n)

Welnu:
E
=sum(k.p_k,k=0..n)
=sum(k.C(n,k).p^k.(1-p)^n-k,k=0..n)
=(1-p)ⁿ.sum(C(n,k).k.(p/1-p)^k,k=0..n)
=(1-p)ⁿ.p/1-p.sum(C(n,k).k.(p/1-p)^k-1,k=0..n)
=p.(1-p)^n-1.sum(C(n,k).k.(p/1-p)^k-1,k=0..n)

Het binomium van Newton leert: (1+x)ⁿ=sum(C(n,k).x^k,k=0..n) en dus:
n.(1+x)^n-1=sum(C(n,k).k.x^k-1,k=0..n)

Zodat met x=p/1-p:
E=p.(1-p)^n-1.n.(1+p/1-p)^n-1=n.p

Waar we termen voor de 'sum' zetten, gebruiken we gewoon de uitbreiding van de eigenschap die zegt dat a.b+a.c=a.(b+c). Voor de rest is het enkel notatie...

Groetjes,
Johan

andros
20-12-2002