WisFaq!

Gegeven is een functie

Geachte hulpverleners,
Gegeven een functie f 2 maal afleidbaar, gedefinieerd op [0,1]. Veronderstel f(0)=0, f(1)=1, f'(0)=f'(1)=0.

Ik moet aantonen dat er een getal x bestaat in [0,1] zodat |f''(x)|=4.
Ik staar me tureluurs op de mogelijke grafieken, maar vind geen aanknopingspunt. Graag uw advies, dat me al vaak uitstekend heeft geholpen.

Rita De Witte
1-6-2009

Antwoord

Hallo, Rita.
Stel dat f" op [0,1] tussen -4 en 4 in blijft (dus exclusief de grenzen -4 en 4).
Gebruikt men een Taylorbenadering rond x=0 met een restterm van graad 2, dan ziet men dat f(x) voor alle xÎ(0,1) tussen -2x² en 2x² ligt.
Gebruikt men een Taylorbenadering rond x=1 met een restterm van graad 2, dan ziet men dat f(x) voor alle xÎ(0,1) tussen 1-2(x-1)² en 1+2(x-1)² ligt.
Schets de vier bijbehorende parabolen nauwkeurig, en concludeer dat men een tegenspraak krijgt voor x=1/2.
Hiermee is het bewijs uit het ongerijmde voltooid!

hr
4-6-2009