WisFaq!

Re: Re: Ellips bepalen met brandpunt en raaklijn ?

ik begrijp nog niet goed hoe je dan verder moet redeneren, wie kan me nog helpen de oplossing te vinden, aub?
Groetjes, Anneke

Anneke
28-5-2009

Antwoord

Hallo, Anneke.

De ellipsen met brandpunten (±2,0) hebben dus, zoals je inmiddels gezien hebt, een vergelijking van de vorm

x²/(b²+4) + y²/b² = 1.

Als je zo'n ellips snijdt met de lijn x+y=4, dan voldoen de snijpunten aan

x²/(b²+4) + (4-x)²/b² = 1.

Dit is een vierkantsvergelijking. Deze heeft:
ofwel twee verschillende oplossingen (als de discriminant positief is), en dat zijn dan de x-coördinaten van twee verschillende snijpunten van de lijn en de ellips,
ofwel één oplossing (als de discriminant nul is), en dat is dan de x-coördinaat van het raakpunt van de lijn en de ellips,
ofwel geen oplossingen (als de discriminant negatief is), en dan zijn er geen snijpunten van de lijn en de ellips.

Om de juiste waarde van b² te vinden, moet je dus de discriminant gelijk stellen aan 0.

Daartoe moet je de vierkantsvergelijking eerst in de vorm
Ax² + Bx + C = 0 schrijven. Dat wordt hier:

(2b²+4)x² + (-8b²-32)x + (16b²+64-b²(b²+4)) = 0.

De discriminant is B² - 4 AC = (-8b²-32)² - 4(2b²+4)(16b²+64-b²(b²+4)).

Bepaal nu b² zó dat deze laatste uitdrukking gelijk is aan 0.
Let op: deze uitdrukking kun je ontbinden in factoren, en één van de factoren is b².

hr
29-5-2009