WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op dinsdag 18 januari 2022

Grootcirkel en vertex

Hoe bepaal je het meest Noordelijke (Zuidelijke) punt van een grootcirkel tussen twee punten A en B op aarde?
We komen met de bekende formules een heel eind, maar bij de berekening van de initiŰle koers weten we niet of de gevonden koers de juiste is of dat die bv nog van 180 graden afgetrokken moet worden.
Zodoende weten wij ook de berekende afwijking van de lengtegraad van de vertex niet toe te passen op de lengtegraad van de punten A en B.
Spelen de plussen en minnen ons parten?

C. Langerak
13-12-2002

Antwoord

Hoi,

We veronderstellen dat de aarde een bol is met centrum o. We hebben twee punten a en b. We bekijken de cirkel g met centrum o waarop a en b liggen en zoeken de punten die dichtst/verst van de evenaar liggen. We noemen de evenaar g0.
Als a en b op g0 liggen, is er geen minimum/maximum. Als a en b niet op de evenaar liggen, dan snijden g en g0 in een rechte L door o. De extremen op g bewegen in een vlak d ^ L wanneer g roteert om L. De extremen liggen dus in het vertikale vlak dat ^ L staat. We kunnen ze vinden door d te snijden met g.

We kunnen een L/B-co÷rdinaat op aarde vertalen naar een (q,f)-co÷rdinaat zodat elk punt op aarde te schrijven is als (x,y,z)=(R.cos(q).cos(f), R.sin(q).cos(f), R.sin(f)). Voor a en b kunnen we dus xyz-co÷rdinaten opstellen (xa,ya,za) en (xb,yb,zb). Een richtingsvector van L ligt in het vlak bepaald door a en b en heeft z-co÷rdinaat gelijk aan 0. Hiermee kunnen we L bepalen, en het vlak d door o dat ^ op L. Alternatief kunnen we d ook bepalen met ez(0,0,1) en het vectorieel product a x b. We kunnen vervolgens de vergelijking opstellen van de snijlijn K van d met het vlak door g.

Een punt u op g kunnen we schrijven als u=l.a+m.b met u2=R2. De extremen liggen ook op K. Hiermee kunnen we de xyz-co÷rdinaten van die extremen berekenen. Zonodig kan je die vertalen naar (q,f)- of L/B-co÷rdinaten.
Nog vragen, laat maar weten...

Groetjes,
Johan

andros
20-12-2002


© 2001-2022 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#5938 - Ruimtemeetkunde - Ouder