WisFaq!

Re: Re: Oefening ivm de hyperbool

Hallo,

Ik zie nu dat ik enkele domme fouten heb begaan door enkel te werken met de tekening van de hyperbool. Maar ik heb de uitkomsten gevonden, enkel b vind ik niet. Ik zal ze hier effe uitgewerkt voorstellen:
·punt d(p,q) dus b²p²-a²q²=a²b²
a)De raaklijn snijdt de asymptoten van de H in e1 en e2

|0e1|·|0e2|= constant:
1) zoek punt e1 en e2, a.d.h.v. het stelsel van de asymptoten en de raaklijn: pxb²-qya²=a²b²
Dus, e1(a²b/(pb-qa),b²a/(pb-qa))
en e2(a²b/(pb+qa),-ab²/(pb+qa))
2)Afstand van |0e1| en |0e2|:
|0e1|²=a²b²(a²+b²)/(pb-qa)²
|0e2|²=a²b²(a²+b²)/(pb+qa)²
3)bewijs: |0e1|·|0e2|=constant
Ö|0e1|²·|0e2|²=a²+b²

c)bewijs dat het produkt van de afstanden van d(p,q) tot de asymptoten constant is:
y=b/ax, dus ay=bx of bx-ay=0
Zodat:
bx-ay/Öa²+b², is de afstant van d tot y=b/ax
bx+ay/Öa²+b², is de afstand van d tot y=-b/ax
bewijs:
bp-aq/Öa²+b²·bp+aq/Öa²+b²=(b²p²-a²q²)/(a²+b²)
rekening houdend met b²p²-a²q²=a²b²
is dit: a²b²/(a²+b²)

d)We trekken door d de evenwijdige met de nevenas. Deze snijdt de asymptoten in g1 en g2. Bewijs dat het produckt |dg1|·|dg2| constant is:
de evenwijdige: x=p
1) zoek de snijpunten:x=p en y= b/a·p, x=p en y=-b/a·p
2) zoek de afstanden:
|dg|=Ö(b/a·p-q)²=b/a·p-q
|dg2|=Ö(-b/a·p-q)²=-b/a·p-q
Bewijs:
(b/a·p-q)·(-b/a·p-q)=(-b²p²+a²q²)/a²
Rekening houdend met b²p²-a²q²=a²b²
=a²b²/a²=b²

Voila, zoals u ziet heb ik a,c en d kunnen oplossen, enkel b brengt me volledig in de war

b) driehoek 0e1e2 heeft een constante oppervlakte:

1)zoek de punten:
Dus, e1(a²b/(pb-qa),b²a/(pb-qa))
en e2(a²b/(pb+qa),-ab²/(pb+qa))
en o(0,0)

2)B·H/2= oppervlakte
dus ik dacht het midden nemen van een van de lijnen, bijvoorbeeld van |0e1|:
m=1/2(a+b)
dat geeft me:
m(a²b/(2(pb-qa))),(b²a/(2(pb-qa)))
dan de afstand zoeken van het midden tot e2,
en hier zit ik dan hopeloos vast.
Als basis neem ik |0e1|²=a²b²(a²+b²)/(pb-qa)²
Wat doe ik nu fout, ik kom uit tot een enorme berekening, is dit de juiste wijze en zou ik dan fouten hebben gemaakt of kan dit alles veel simpeler?

Dank u,

gerrie

gerrie cuvelier
18-5-2009

Antwoord

Gerrie,
Ik kies in DOE1E2 als basis de raaklijn l:E1E2.Deze heeft als vergelijking
px/a²-qy/b²-1=0.De hoogtelijn is de afstand van de oorsprong tot l.Nu is
D(O,l)=1/Ö(p²/a⁴+q²/b⁴=a²b²/Ö(b⁴p²+a⁴q²).
De coördinaten van E1 zijn x1=a²b/(pb-aq)=(pb+aq)/b en y1=(pb+aq)/a.
Die van E2 zijn x2=(pb-aq)/b en y2=(-pb+aq)/a.De lengte van de basis is dus
Ö(x1-x2)²+(y1-y2)²=2Ö(b⁴p²+a⁴q²)/ab zodat de oppervlakte gelijk is aan ¹/₂ basis*hoogte=ab.
Voila, c'est simple comme bonjour.

kn
18-5-2009