WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op maandag 15 augustus 2022

Oefening ivm de hyperbool

Hallo,

Kan iemand me zeggen of men oplossingen juist zijn en of ik de juiste analytische methode heb gebruikt:

Op een Hyperbool H met middelpunt 0 nemen we een veranderlijk punt d. De raaklijn in d aan H snijdt de asymptoten in e1 en e2.

a) Bewijs dat het produkt ||0e1||||0e2|| constant is:

Een raaklijn aan H is de topraaklijn met vergelijking
x=a, zodat e1(a,b) en e1(a,-b).
Dus: (a2+b2)(a2+b2)=a2+b2
constante=a2+b2

b) Bewijs dat driehoek oe1e2 een constante oppervlakte heeft:
BH/2:
H: |0a|=a,B=2b2=4b2
dus: 4b2a/2= 2ab2
constante=2ab2

c)Bewijs dat het produkt van de afstanden van d tot de asymptoten constant is:

d(a,0) en asymptoten zijn y=+-b/ax
a.d.h.v. ux+vy+w/u2+v2

(bx-ya)/a2=ba/a2=b/a
en (bx+ya)/u2+v2=ba/a2=b/a
dus b/ab/a= b2/a2
constante = b2/a2

d)We trekken door d de evenwijdige met de nevenas. Deze rechte snijdt de asymptoten in g1 en g2. Bewijs dat het produkt |dg1||dg2| constant is:

Deze is dan idem aan a) a2+b2

Ik heb als raaklijn de topraaklijn gekozen om zo met x=a te werken.

gerrie cuvelier
15-5-2009

Antwoord

Gerrie,
Jij beschouwt wel een speciaal geval.Het moet natuurlijk algemeen ook gelden.Ik behandel alleen geval a).Dan kun je wellicht zelf wel verder.
Neem P=(p,q)op de hyperbool.Dus p2/a2-q2/b2=1 of b2p2-a2q2=a2b2.De raaklijn door P aan de hyperbool heeft als vergelijking px/a2-qy/b2=1.Voor het snijpunt E1 van de raaklijn met y=(b/a)x is x=(a2b)/(pb-qa),y=(ab2)/(pb-qa).Dus (OE1)2= a2b2(a2+b2)/(pb-qa)2.Op dezelfde wijze vind je dat
(OE2)2=a2b2(a2+b2)/(pb+qa)2.Conclusie:(OE1)(OE2)=a2+b2.

kn
15-5-2009


© 2001-2022 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#59312 - Analytische meetkunde - 3de graad ASO