WisFaq!

Modelleren met integralen

Mijn vraag: gegeven is f(x)=ax^2 en x ligt tussen -250 en +250mm. Wanneer de parabool om de y-as wentelt ontstaat een paraboloide. De inhoud moet 28 liter worden. Bereken parameter a. Ik heb voor de paraboloide de volgende integraal opgesteld Int (4/3· ²·x^5. x is hier uiteraard vervangen door r de straal van een bol.
Ik mijn opgestelde intergraal goed?

Bij voorbaat dank,

Renco de Gries

Renco de gries
13-12-2002

Antwoord

Als we in centimeters werken, dan loopt de x van -25 tot +25 en moet je een paraboloïde maken met inhoud 28000 cm³.

Als een grafiek van functie y rond de x-as wentelt, dan krijg je in het algemeen een integraal van de vorm:
Int[p.y²dx], waarbij grenzen lopen van x = a tot x = b
Als je rond de y-as wentelt, krijg je een soortgelijke integraal, maar nu van de vorm Int[p.x²dy], waarbij nu de grenzen y = c tot y = d gekozen worden.
Dit berust op de theorie van de inverse functies.

Ga nu uit van de formule y = ax². Hier haal je eerst uit dat x² = y/a

Nu de y-grenzen bepalen.
Als x = 25 in y = ax² wordt ingevuld, dan krijg je y = 625a.

Gezien het bovenstaand krijg je nu de volgende integraal:

Int[p.y/a], waarbij y loopt van 0 tot 625a.

De factoren en a kun je vóór het integraalteken zetten. Dat levert dan op: p/a . Int[1/y . dy] met de vermelde grenzen.
De primitieve van 1/y is ln(y) en door de uitkomst dan gelijk te stellen aan 28000 rolt er wel een waarde voor a uit.

MBL
13-12-2002