WisFaq!

Dynamische modellen (differentievergelijkingen)

Ik wil graag weten hoe je de algemene oplossing van een 3e-ordevergelijking bepaalt:
6X_t-7X_t-1+X_t-3=1

Arno Lammerink
12-12-2002

Antwoord

Hoi,

We moeten dus een oplossing bepalen voor 6.x(t)-7.x(t-1)+x(t-3)=1 (1) met gegeven x(0), x(1) en x(2).

Eerst proberen we die constante term kwijt te raken. We proberen x(t) te schrijven als y(t)+z(t) waarbij z(t) een veelterm is (met reële coëfficiënten).

We hebben dan 6.x(t)-7.x(t-1)+x(t-3)-1= 6.y(t)-7.y(t-1)+y(t-3)+ 6.z(t)-7.z(t-1)+z(t-3)-1=0.
We proberen nu z(t) te bepalen zodat 6.z(t)-7.z(t-1)+z(t-3)-1=0 voor alle t. Voor z(t)=a vinden we geen oplossing, voor z(t)=at+b vinden we dat a=1/4 en b willekeurig kan voldoen. We nemen dus z(t)=t/4. (Te veralgemenen : er bestaat een z(t) wanneer het rechterlid van de diffvgl (1) een veelterm is in t)

We hebben dus : x(t)=y(t)+t/4 waarbij y(t) de oplossing is van y(t)=7/6.y(t-1)+1/6.y(t-3).
Met Y(t)=[y(t), y(t-1), y(t-2)] en A=[[7/6,0,1/6][1,0,0][0,1,0]] krijgen we dus de matixvergelijking : Y(t)=A.Y(t-1)=A^t.Y(0).

We moeten dus een uitdrukking vinden voor A^t. Voor sommige matrices kan dit makkelijk via de eigenwaarden ontbinding. (Je zoekt hier best eens op als je dit niet kent)

Je krijgt zo een gesloten uitdrukking voor y(t) van de vorm c₁. (l₁)^t+c₂. (l₂)^t+ c₃. (l₃)^t. De l zijn de (verschillende) eigenwaarden. Als je meervoudige eigenwaarden hebt, kan het iets anders zijn. Dit moet je eens opzoeken (op het internet of in een goed boek hierover).

Zo krijg je dan ook een algemene uitdrukking voor x(t).

Groetjes,
Johan

andros
18-12-2002