WisFaq!

Piramidegetallen in de driehoek van Pascal

de algemene formule voor een piramidegetal is:
1/6 · n · (n+1) · (n+2), maar wat is het bewijs van deze formule, hoe kan ik de formule verklaren?

Lysanne
1-5-2009

Antwoord

Beste Lysanne,
Wat wil je eigenlijk verklaren? Waarom en waar komen die getallen in de driehoek van Pascal voor? Of waarom zijn dit piramidegetallen en wat zijn dan eigenlijk piramide getallen?
Een heleboel daarvan kan je in wikipedia vinden.
Zie ook Somrij, verschilrij en kwadraatrij en in de verwijzingen die je daar kan vinden.
Gaan we even uit van een piramide met een driehoekig grondvlak,gemaakt van balletjes, dan heeft de nde laag 1+2+3+4+....+n=0,5n(n+1) balletjes.
(de som van een rekenkundige rij).

Maar voor die piramide moeten we die lagen bij elkaar optellen.
Je krijgt dan de som van 0,5n(n+1) met n=1,n=2, n=3 enz.
Als je eerst die haakjes wegwerkt staat er:
0,5n²+0,5n.
We zouden dus ook de som kunnen berekenen van 0,5(1²+2²+3²+....+n²) + 0,5(1+2+3+...+n).

Net als voor de som van opvolgende getallen bestaat er voor de som van opvolgende kwadraten ook een formule:
¹/₆·n(n+1)(2n+1).
Zie ook: Rule-Off reeksen
(Dat zou je natuurlijk ook moeten bewijzen,laat maar weten als je daar hulp bij wil hebben.)
We moeten deze twee formules nu bij elkaar optellen.
Met een beetje algebral zou je dat moeten kunnen en laten zien dat die som is te schrijven als ¹/₆n(n+1(n+2)

Maar waarom zijn dit nu getallen uit de driehoek van Pascal?
Het sukje n(n+1)(n+2) kan je ook schrijven als: (n+2)!/(n-1)!
(net als: 7·6·5=7·6·5·4·3·2·1/5·4·3·2·1=7!/4!)
En 6=3·2·1=3!
Dus er staat niets anders dan: (n+2)!/(n-1)!·3!=een binomiaal coefficient.
En die vind je in de driehoek van Pascal langs de schuine lijn te beginnen bij het begin van rij 3.(De top van de driehoek is rij 0).
IS dat wat je bedoelt?
Zo nee, dan hoor ik het wel.
Groet, Lieke.

ldr
1-5-2009