WisFaq!

Bewijs stochastische matrix en eigenwaarden

Beste, hoe moet je volgende stelling bewijzen:
'Als L een stochastische matrix is, dan geldt voor alle eigenwaarden lambda, dat abs (lambda) kleiner of gelijk zijn aan 1. Bovendien is lambda = 1 steeds een eigenwaarde' ;

bij voorbaat dank ;

Tom

Tom
21-4-2009

Antwoord

De kolommen hebben som 1; reken nu L^Tx uit waarin x de vector met allemaal enen is. Je zult zien dat x een eigenvector van L^T is met eigenwaarde 1, dus 1 is ook een eigenwaarde van L zelf.
Als y een willekeurige eigenvector van L^T is dan is elke coordinaat van L^Ty een (gewogen) gemiddelde van de coordinaten van y. Neem voor het gemak even aan dat de eerste coordinaat van y de grootste absolute waarde heeft; de absolute waarde van de eerste coordinaat van L^Ty is dan kleiner dan of gelijk aan |y₁| en ook gelijk aan |lambda||y₁|; wat zegt dit over |lambda|?

kphart
22-4-2009