WisFaq!

Re: Re: Wentelen om een rechte lijn en functies

Dag Anneke,

De uitbreiding naar y=ax :

noem de straal van de grondcirkel van de "cilinder" r. Dit is de loodrechte projectie van f(x) op de lijn y=ax. kies een willekeurig punt P(x_p,y_p). trek hierdoor een loodrechte lijn op de lijn y=ax. Deze heeft als vorm k:y=(-1/a)x+(y_p+1/a·x_p).

het snijpunt S is dan als volgt:
x_s=(a·y_p+x_p)/(a²+1)
y_p= (a²·y_p+a·x_p)/(a²+1)

de straal van de grondcirkel van de cilinder wordt dan:

r = Ö((x_s-x_p)²+(y_p+y_s)²)

r = Ö(((a·y_p+x_p)/(a²+1)-x_p)²+(y_p-(a²·y_p+a·x_p)/(a²+1))²)

voor Dh geldt dan : Dh = Ö(a²+1)·Dx (lastig zonder plaatjes toe te lichten..)

laat nu y_p = f(x) en x_p=x

dan volgt uit de riemannsom ( wanneer je het limiet neemt van Dx ®0 ) de integraalformule :

I(L)= a¦b Ö(a²+1)·p·
(((a·y_p+x_p)/(a²+1)-x_p))²+((y_p-(a²·y_p+a·x_p)/(a²+1))²) dx

Natuurlijk is deze formule weer alleen toe te passen wanneer alle punten op het interval [a,b] bij draaing om de lijn y=ax bestaan, en dat

Ik dacht ik laat het even weten :P

Ik vroeg me af dit lijken mij natuurlijk geen standaardformules, maar bestaan deze in de integraalrekening-theorie wel? Op het vwo krijg je natuurlijk alleen maar wenteling om de x-as / en y-as ; verticale en horizontale richting. Of bestaan hiervoor andere theoriën ( ik ga ook wiskunde studeren dus daarom ben ik zo belachelijk bezig :P )

de volgende stap is natuurlijk wentelen om een functie, maar dat lijkt me moeilijk? Is daar überhaupt stof over?

Het gaat u goed

MVG

Aad Vijn
4-3-2009

Antwoord

dag Aad,

Niks belachelijks, al is het juist wel om te lachen, maar dan gewoon van plezier omdat je iets moois hebt gevonden
Wat je laatste opmerking betreft: er is wel iets over te zeggen.
In Maple heb je bijvoorbeeld het commando tubeplot, waarmee je (in parameters) een functie kunt wentelen om een andere functie, en daarvan mooie plaatjes tekenen.
Bijvoorbeeld:
tubeplot([sin(t),t,cos(t)],t=0..20,radius=0.3*t,color=F,tubepoints=30,scaling=constrained);
geeft een mooi slakkenhuis als resultaat:



Maar een algemene formule voor de inhoud zal problemen opleveren, al zul jij je niet snel laten afschrikken.
Ik hoop dat je net zoveel plezier beleeft aan je wiskundestudie als ik dat had (en nog steeds heb).
groet,

Anneke
4-3-2009