WisFaq!

Arctangensreeks

Hallo,

Ik heb een pagina over de arctangensreeks gevonden. Tot het deel van de Meetkundige Som snap ik het. Hierna gaan ze van de MS:
* Sn = (1- ¦Ö^n)/(1- ¦Ö)
opeens naar de volgende integraal:
Rest_n = (-1)^n-1 0¨°a ^x2n/_{1 + x²} dx
Hoe komen ze tot deze formule en wat heeft deze met de arctangensreeks te maken?

Vriendelijke groet.

Eva
3-3-2009

Antwoord

Het punt is dat de afgeleide van arctan(x) gelijk is aan 1/(1+x²). Dat betekent dat je de reeks van arctan(x) kunt maken door die van 1/(1+x²) stap voor stap te primitiveren.
Wat, waarschijnlijk, op die pagina gebeurt is dat men kijkt naar het verschil tussen arctan(x) en een partiële som van zijn reeks. Dat gaat het makkelijkst door eerst naar 1/(1+x²) te kijken: S_n=1-x²+x⁴-...+(-x²)^n-1=(1-(-x²)ⁿ)/(1+x²); hieruit volgt dat 1/(1+x²)-S_n gelijk is aan (-x²)ⁿ/(1+x²).
Nu aan beide kanten integreren (zo te zien van 0 tot a), dan krijg je links arctan(a)-(a-a³/3+a⁵/5-...+(-1)^n-1x^2n-1/(2n-1) en rechts de integraal van (-1)ⁿx²ⁿ/(1+x²)

kphart
4-3-2009