WisFaq!

Congruentierekenen

We weten 10(mod9)=1, 100(mod9)=1, 1000(mod9)=1

Vraag: is 12345 X 54321 = 671492745?

Met mod 9 zou je deze vraag op moeten kunnen oplossen:

12345=1+2+3+4+5(mod9), dus 15=6(mod9)
Ook 54321=6(mod9)

Vanwege a1=a2(modM) en b1=b2(modM)geldt:

a1Xb1=a2b2(modM), 6X6=36=0(mod9) (6mod9X6mod9)

671492745=6+7+1+4+9+2+7+4+5(mod9)
45=0(mod9)

Op basis van deze conclusie zou je dus verwachten:

0(mod9) is 0(mod9), dus 671492745 is het product van
12345 en 54321. Het werkelijke antwoord is echter 670592745 dat ook gelijk is aan 0(mod9).

Wat doe ik hier verkeerd?

Willem van Bentum
25-2-2009

Antwoord

Je telt de cijfers waaruit het getal 671492745 bestaat op. Dat levert 45 op en inderdaad is 45 een negenvoud, dus modulo 9 komt daar inderdaad 0 uit.
Maar, als je goed kijkt naar het werkelijke antwoord, dan zie je dat het derde cijfer 1 lager is en het vierde cijfer 1 hoger dan in het foute resultaat.
Maar dan blijft de optelsom natuurlijk nog altijd 45, en dus blijft het modulo 9 inderdaad gelijk aan 0.
Je draait hier oorzaak en gevolg om. Als de modulotelling niet klopt, dan weet je zeker dat je vermenigvuldiging ergens fout is gegaan. Maar als de modulorekening wél klopt, dan garandeert dat helemaal niets.
Probeer het maar eens met een zichtbaar foute vermenigvuldiging als 23 x 10 = 14.
Modulo 9 komt er aan beide zijden 5 uit, maar om het resultaat nu goed te noemen........

MBL
25-2-2009