WisFaq!

Pv van bol en cilinder

ik moet in mijn PO de pv van een cilinder en een bol afleiden. respectievelijk: x=r cos t y=r sin t z=u, en
x=r cos t cos u y=r sin t cos u z=r sin u
alleen heb ik geen idee waar ik mijn begin moet maken met het afleiden van deze pv's.

oh en wat zijn loxodromen?

bij voorbaat dank,
groetjes stach

Stach Aarts
9-12-2002

Antwoord

Ik weet niet precies wat je met pv bedoelt, afko's gaarne voluit schrijven. Ik zal een gooi doen naar wat je nodig hebt:

cilinder:
x=r.cost; y=r.sint; z=u

je ziet ten eerste dat z geen relatie heeft met x en y

ten tweede: vergelijkingen van dit soort lichamen (beschreven met sinussen en cosinussen) kun je al snel "tackelen" door alles te kwadrateren:
x²=r²cos²t; y²=r²sin²t; z²=u²

dus moet ook gelden dat
x²+y² gelijk is aan r²(cos²t+sin²t)=r².1=r²
ofwel:
x²+y²=r² met r de straal
Dit komt je misschien bekend voor als de vergelijking van een cirkel met middelpunt (0,0)
De z komt niet in deze vergelijking voor. Kennelijk geldt deze gelijkheid voor alle denkbare z-coordinaten, en dat is ook wat je je wel kunt voorstellen bij een oneindig lange cilinder.

Bol:
x=r.cost.cosu; y=r.sint.cosu; z=r.sinu
Hier zie je dat vanwege de u's en de t's,
de x, y, en z coordinaten wel onderling van elkaar afhangen.
Wederom alles kwadrateren:
x²=r²cos²t.cos²u
y²=r²sin²t.cos²u
z²=r²sin²u

nu geldt dat x²+y²=r²cos²t.cos²u+r²sin²t.cos²uÛ
x²+y²=r²cos²u(cos²t+sin²t)=r²cos²u.1=r²cos²u

en dus is
(x²+y²)+z²=r²cos²u+r²sin²u = r².1=r²

zodoende geldt voor een bol:
x²+y²+z²=r² met r de straal

groeten,
martijn

mg
11-12-2002