WisFaq!

Lineaire (on)afhankelijkheid, voortbrengendheid en basis van vectoren

Gegeven is het volgende stel vectoren {A, B, 3A-2B}. De vectoren A en B verschillen beide van de nulvector. Er wordt gevraagd of dit stel L.A. of L.O., voortbrengend en een basis is voor (R, ,+).
Het is duidelijk dat het stel lineair afhankelijk is, want er bestaat een lineaire combinatie tussen deze vectoren: 3*A+(-2)*B=3A-2B.
Voor de voortbrengendheid moet je nagaan of je met die vectoren elke andere vector kan maken, maar ik zou niet weten hoe je dat moet doen.
Met koppels is dit vele simpeler: neem bvb {(1,0), (0,1)}, dan kan je een willekeurig koppel (a,b) construeren door a keer (1,0) te nemen en hierbij b keer (0,1) te tellen.
Maar hoe doe je dat met die vectoren?

Roel De Nijs
8-12-2002

Antwoord

De vectoren a en b zijn lineair onafhankelijk veronderstel ik. De vector 3a - 2b is daar dan inderdaad een lineaire combinatie van, zoals je zelf aantoont.
Een en ander betekent dat het vlak door de vectoren a en b tevens de vector 3a - 2b bevat. Het stel vectoren {a,b} is dan een zogenaamde basis van dit vlak, hetgeen betekent dat je elke vector in dit vlak kunt schrijven als lineaire combinatie van a en b.
Maar elke vector die zijn eindpunt niet in dit vlak heeft liggen, kun je niet meer schrijven als combinatie van a en b. Daarvoor zal een derde vector nodig zijn, niet gelegen in het zojuist beschreven vlak.

Als a en b afhankelijk zijn (zeg maar langs één lijn vallen), dan vervalt het bovenstaande ten dele. Nu is de ruimte die a en b opspannen niet méér dan de bedoelde lijn. Kortom, dan krijg je een wat flauw geval en dat zal wel niet de bedoeling zijn.

MBL
8-12-2002