WisFaq!

Oppervlakte en volumeintegralen - integratiegrenzen?

wanneer je een oppervlakte of volumeintegraal moet uitrekenen, hoe weet je dan in welke richting je moet integreren?
simpel voorbeeld met orthogonale curvilineaire coordinaten om het volume van een bol te bereken

dV=r·sinF·dr·dF·d(theta) met r0, F van 0 tot p en theta va 0 tot 2p
nu als je dit zo uitwerkt kom je een negatief getal uit wat toch niet kan (bij deze opgave weet je dit, maar die ik aan het uitwerken ben nl. volume- en oppintegraal van kracht·normaal , heb ik geen idee van wat het teken moet zijn dus heb een algemene regel nodig)

dus hou weet je of theta nu van 0 tot 2p gaat of van 2p tot 0? Dit is zeer belangrijk met betrekking tot het teken van de oplossing

Ingrid Keupers
6-1-2009

Antwoord

In jouw geval is de integraal positief: int(sin(phi),phi=0..p)=2.
Welke kant je op moet integreren volgt uit een aantal stellingen: de inhoud is gelijk aan de integraal van de absolute waarde van de Jacobiaan (r*sin(phi)) over het gebied beschreven door 0=r=R, 0=phi=pi, O=theta=2pi; en die integraal is gelijk aan de herhaalde integraal, waarbij je telkens van klein naar groot integreert (0 tot R, 0 tot pi, 0 tot 2pi). Hierdoor liggen de richtingen ondubbelzinnig vast.

kphart
13-1-2009