WisFaq!

Sylow 2-deelgroepen van S_4

Beste wisfaq, ik zit met de volgende vraag,

Ik moet alle Sylow 2-deelgroepen van S_4 vinden (S_4 staat voor de symmetric group of degree 4 (sorry ik weet niet hoe ik dit in het nederlands moet zeggen)).
Dit is gelukt, en ik heb gevonden:

P_1=V_4, (1 3 2 4)={1,(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 3 2 4), (1 4 2 3), (1 2), (3 4)}

P_2=V_4, (1 2 3 4)={ 1,(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3 4), (1 3), (1 4 3 2), (2 4)}

P_3=V_4, (1 2 4 3)={ 1,(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 4 3), (1 4), (2 3), (1 3 4 2)}

En vervolgens moet ik elementen van S_4 vinden die elk van de bovenstaande groepen in de andere conjugeert. Ik vermoed dat a=(2 3 4) zo’n element is en heb het gestest door expliciet te bepalen. Dan krijg ik inderdaad dat conjugate met a P_1 in P_2 verandert, maar enkel voor de laatste 4 elementen in de set. Op een zelfde manier krijg ik dat a P_2 in P_3 conjugeert, maar wederom alleen voor de laatste 4 elementen.

Mijn vraag is dan ook hoe laat ik zien dat dit ook voor de 1e 4 elementen in de bovenstaande expressies for P_1,P_2 en P_3 geld en daarnaast, of er nog meer van dit soort elementen zijn en hoe ik dit in zijn algemeenheid aantoon. Vrienddelijke groet,

Herman de vries.

Herman de vries
3-12-2008

Antwoord

Ik begrijp niet hoe je wel voor de laatste vier maar niet voor de eerate vier elementen p van P₁ kunt laten zien dat a^-1pa in P₂ zit; het allereerste element is (1) en a^-1(1)a=(1), dus voor dat element lukt het zeker. Ik heb voor alle p in P₁ het product a^-1pa uitgerekend en ik kreeg netjes alle elementen van P₂.
Elk van de zes 3-cykels kun je op deze manier gebruiken om de P_i te conjugeren; je krijgt dan cyclische permutaties van {P₁, P₂, P₃}.
De 2- en 4-cykels geven slechts verwisselingen: (12) voert P₁ in zichzelf over en P₂ in P₃ (en omgekeerd). (1324) doet hetzelfde als (12).

kphart
4-12-2008