WisFaq!

Volume torus

Ik heb een oefening over het berekenen van het volume van een torus, hierbij wordt het onderste deel van de te wentelen cirkel afgetrokken van het bovenste deel van die cirkel. Maw er wordt een verschil gemaakt in integralen van het bovenste deel en het onderste deel.

Waarom moeten deze 2 delen afgetrokken worden en niet opgeteld gezien je zowel het onderste als het bovenste deel wentelt? voor het bovenste deel van de cirkel heb ik als vergelijking y= R+√(r²-x²) en voor het onderste y= R-√(r²-x²)

Alvast bedankt
hierbij is R de afstand van het middelpunt van de cirkel tot de x-as

Maarten Rathe
5-11-2008

Antwoord

Beste Maarten,

Denk even terug aan de integraal van een (positieve) functie: dit gaf je de oppervlakte tussen de grafiek van de functie en de x-as. Voor de bovenste helft van een cirkel die volledig boven de x-as ligt, is dit dus het hele gebied vanaf de halve cirkel tot aan de x-as. Dit is dus niet alleen de halve cirkel, maar ook nog een rechthoek eronder tot aan de x-as (waarin de onderste halve cirkel ook zit, maak een schets om dit te zien!).

Nu terug naar de torus: het omwentelingslichaam verkregen door wenteling van de bovenste cirkelhelft geeft je een volledig solide lichaam in de vorm van een 'ronde kaas' - zie je dat? Het omwentelingslichaam horend bij de onderste cirkelhelft haalt er dan precies uit wat je nodig hebt om de torus over te houden. Een goede tekening zou dit moeten verduidelijken.

Reageer maar als je het hiermee nog niet (in)ziet.

mvg,
Tom

td
5-11-2008