WisFaq!

Normale subgroepen

Beste wisfaq, ik zit met het volgende probleem (wel, eigenlijk zijn het verschillende problemen maar ik loop al vast bij (a).

Laat a,b in G (G is een groep).

(a) Ik probeer te bewijzen dat gegeven N=$<$S$>$, S is een subset van G, dat N een normale subgroup van G is indien gSg^-1 voor alle g in G.

(b) Daarna moet ik aflieden dat indien N=$<$x$>$, dan is N normal in G iff
Gxg^-1=x^k voor alle g in G en voor k in Z.

(c ) To slot moet ik dan aantonen dat] de subgroup N van G gegenereerd by alle elementen van G van order n een normale subgroup van G is (n is een positief geheel getal hier).

Ik heb tot nu toe bewezen dat de conjugate van het product van a en b gelijk is aan het product van de conjugate van a en de conjugate van b en dat de conjugate van a^-1 gelijk is aan de conjugate van a.

Voor (a) heb ik tot nog toe het volgende gedaan.

In (a) willen we checken dat alle conjugates van de set van generators voor N elementen van N zijn om te bewijzen dat N een normale subgroep is (dit volgt van een stelling uit het boek). Welnu, voor alle g in G en s in S hebben we

N=$<$S$>$ $\Rightarrow$ s in S = $>$ s in N

Dus volgt het dat voor alle s in S en alle g in G:

gsg^-1 in S = $>$ gsg^-1 in $<$S$>$ = $>$ gsg^-1 in N

nu volgt het dat gNg^-1 een subgroep is van N en dus dat N een normale subgroep van G is.

Ik hoop dat jullie me kunnen vertellen of dit een beetje in de juiste richting is en zo niet, waar het fout gaat.

Bij voorbaat dank,

Herman

Herman de vries
2-11-2008

Antwoord

Ik neem aan dat er bij a) staat: S is een normaaldeler als gSg^-1 een deel van S is, voor elke g. Dat betekent dat je nog moet bewijzen dat gSg^-1 een deel van S, voor elke g. Welnu neem zo'n g en merk op dat S een deel van g^-1Sg is; de laatste verzameling is een ondergroep, dus S is daar een deelverzameling van (want S is de kleinste ondergroep waar S een deel van is), en dus gSg^-1 is een deel van S.

Voor b): pas a) toe met S={x}

Voor c): omdat je hebt laten zien dat a-gag^-1 een homomorfisme is en omdat a-g^-1ag daar de inverse van is is dat zelfs een isomorfisme (en dus orde(a)=orde(gag^-1)). Met S={x:orde(x)=n} volgt nu dus dat gSg^-1=S en uit a) volgt dat dat S een normaaldeler is.

kphart
6-11-2008