WisFaq!

Subgroep en normale subgroep

Beste wisfaq, ik zit met de volgende vraag

Zij G een eindige groep en zij H een subgroep van G zodat N een normale subgroep is van G. Bewijs dat wanneer |H| en |G:N| relatief priem zijn, dan is H een subgroep van N.

vriendelijke groet,

herman

Herman de vries
31-10-2008

Antwoord

De vraag is slecht opgeschreven. Wat is de relatie tussen H en N? Ik neem aan dat bedoeld wordt dat H en N ondergroepen zijn en dat N ook nog een normaaldeler is. In dat geval gaat het bewijs als volgt: neem het quotienthomomorfisme q:G-G/N. Het beeld q[H] is een ondergroep van G/N, dus |q[H]| is een deler van [G:N]. Ook is |q[H]| een deler van |H|, want |H|=|M|*[H:M], waar M de doorsnede van H en N is. Conclusie : q[H] heeft één element en dat moet q(e) zijn, dus is H een deelverz van N.

kphart
2-11-2008