WisFaq!

Re: Een hardnekkige ongelijkheid

Er was echter een extra voorwaarde: a+b>=c.

Inmiddels heb ik de ongelijkheid als volgt opgelost:

Daar a, b en c reële positieve getallen zijn:

a/(1+a) + b/(1+b) a/(1+a+b) + b/(1+a+b), d.w.z.
a/(1+a) + b/(1+b) (a+b)/(1+a+b) (*)
Uit het gegeven dat a+b c volgt:
a+b+c(a+b) c+c(a+b), dus
(a+b)(1+c) c(1+a+b), zodat tenslotte volgt
(a+b)/(1+a+b) c/(1+c) (**)

Uit (*) en (**) volgt hetgeen we moeten bewijzen.

N.B.: De vraag was opgave 1 van de Mathematical Tripos
van Di 1 juni 1937.

M. Wielders
17-10-2008

Antwoord

Dan heb je het uiteindelijk zelf gevonden, en dat is veel leuker.

Maar het kan korter.
I.h.a: x/(x+1)=1-1/(x+1)
Na (*) heb je dus:
a/(1+a)+b/(1+b)>=(a+b)/(a+b+1)=1-1/(a+b+1)
Omdat a+b>=c geldt 1-1/(a+b+1)>=1-1/(c+1)=c/(c+1)

(met dank aan kn)

hk
17-10-2008