WisFaq!

Gegeneraliseerde eigenruimte

Geachte,

Ik ben op zoek naar de gegeneraliseerde eigenruimten van de matrix:
4 -1 -1
2 1 -1
3 -1 0

De eigenwaarden die ik gevonden heb zijn l=1 en l=2 (algebr. multipli is 2)

Voor welke macht k geldt nu dat
Ker(A-l)^k=Ker(A-l)^(k+1)?

Tenminste, zo wordt toch de gegeneraliseerde eigenruimte bij een eigenvector berekend?

Mvg,
Marcel

Marcel
16-10-2008

Antwoord

De k die je zoekt is de algebraïsche multipliciteit.
De meestgebruikte procedure om (gegeneraliseerde) eigenvectoren op te sporen is
1. Los (A-l)x=0 op en bepaal zo een onafhankelijk stel eigenvectoren bij l (in jouw geval bij 1 krijg je (1,1,2); bij 2 is het (1,1,1).
2. Als je minder vectoren hebt dan de multipliciteit groot is los je voor elke eigenvector y de vergelijking (A-l)x=y op; bij 2 vind je dan (1,0,1)
3. Herhaal dit met de nieuwe vectoren tot je net zo veel vectoren hebt als de multipliciteit groot is.
In jouw voorbeeld: (1,1,2) spant de eigenruimte bij 1 op; (1,1,1) spant de eigenruimte bij 2 op en (1,0,1) is nog een gegeneraliseerde eigenvector.

kphart
29-10-2008