WisFaq!

Een hardnekkige ongelijkheid

Gegeven is dat a, b en c positieve reële getallen zijn.
Toon nu aan dat de volgende ongelijkheid geldt:
a/(1+a) + b/(1+b) c/(1+c)

Veel vruchteloze pogingen tot nu toe, maar nog geen aanzet tot een bewijs. Hoe dit aan te pakken?

M. Wielders
16-10-2008

Antwoord

Dat van die vruchteloze pogingen kan ik me voorstellen want het is ook niet waar.

Bijvoorbeeld:
Kies a=1/2, a/(1+a)=1/3.
Kies b=1/3, b/(1+b)=1/4.
Het linkerlid wordt dan 1/3+1/4=7/12.

Het is nu niet zo moeilijk een c te vinden waarvoor c/(1+c)7/12:
Links en rechts vermenigvuldigen met 1+c:
c7/12(1+c)
12c7(1+c)
12c7+7c
5c7
c7/5.
Dus voor alle c7/5 geldt dan de ongelijkheid niet bij deze a en b.

hk
16-10-2008