WisFaq!

Bepaal f(x) en g(x) in de dv

Bepaal functies f(x) en g(x) zodat de differentiaalvergelijking y'= f(x)·y + g(x) zowel e^x als sinh(x) als oplossingen heeft.

y = e^x = y'
y = sinh(x) = (e^x-e^-x)/2
y'= cosh(x) = (e^x+e^-x)/2

e^x = fe^x+g

cosh(x) = fe^x+g
e^x+e^-x = fe^x - fe^-x + 2g
e^x = fe^x + 2g - fe^-x - e^-x
= fe^x + g
g - (f+1)e^-x = 0

g = (f+1)e^-x
f = ge^x-1

e^x = fe^x+g = ge^2x-e^x+g = g(e^2x+1)-e^x (···)
g = e^2x/(e^2x+1)
f = e^3x/(e^2x+1)-1

Als ik dit invul in de oorspronkelijke formule:
e^x=fe^x+g

dan kom ik uit op 2e^x=e^2x
ziet iemand waar het fout is gegaan?

lars
10-10-2008

Antwoord

dag Lars,

De fout zit hem in (bijna) de staart. Tot en met (***) is het goed.
Daarna moet je bij beide kanten van de vergelijking e^x optellen, en dat levert 2·e^x, en niet e^2x, wat jij stelt.

groet,

Anneke
10-10-2008