WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op donderdag 28 maart 2024

Formule van Euler

Ik zoek het bewijs van de formule van Euler, maar als ik daarnaar zoek, krijg ik alleen maar zijn formule over convexe veelvlakken. Maar ik zoek het bewijs van eip+1=0

Ik weet al dat het een speciaal geval is van eiq=cosq+isinq. Als q=p, dan komt er aan de ene kant -1 uit, maar waarom zou eip ook -1 zijn?
Alvast bedankt

marco
29-9-2008

Antwoord

Als je z=cosj+isinj opvat als een functie van j dan kan je schrijven:
f(j)=cosj+isinj
Als je dan naar de afgeleide kijkt gebeurt er iets bijzonders:
f'(j)=-sinj+icosj=i(cosj+isinj)=i·f(j)

Nu ken ik eigenlijk maar één functie waarvan de afgeleide (vrijwel) gelijk is aan de functie. De afgeleide van: g(j)=eij is g'(j)=ieij
Dus geldt: eij=cosj+isinj

De identiteit van Euler is dan niets anders dan de formule van Euler met j=p:

      eip+1=0

En dat is wel mooi, inderdaad...
bron: Complexe getallen VWO wiskunde B - Frits Spijkers - 2001


Op Wat is e en ln(x)? kan je nog 't een en ander vinden omtrent e.

WvR
30-9-2008


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#56616 - Bewijzen - Leerling bovenbouw havo-vwo