WisFaq!

Middelwaardestelling van Rolle en Lagrange

Dag beste wisfaq'ers,

heb een klein probleempje met oefeningen voor wiskunde met als onderwerp de middelwaardestelling van rolle en eentje met die van lagrange.

Voor rolle

Ga telkens na dat voor de gegeven functie aan de voorwaarden voor de stelling van Rolle voldaan is in het gegeven interval en bepaal alle waarden van c waarvan deze stelling het bestaan aantoont.
f(x) = 1/2x - Öx in [0,4]

Voor lagrange

Onderzoek of de volgende functies voldoen aan de voorwaarden voor de middelwaardestelling van lagrange. Indien dit geval, bepaal dan alle waarden van c waarvan deze stelling het bestaan aantoont.

f(x) = ax²+2x+c in ^[x1,x2]

Alvast bedankt!

Kurt
25-9-2008

Antwoord

De stelling van Lagrange ofwel de midddelwaardestelling zegt: als functie f continu is op het gesloten interval [a,b] en de afgeleide f' bestaat op het open interval a,b, dan is er een getal c tussen a en b te vinden waarvoor
geldt dat f(b) - f(a) = (b-a).f'(c).
Als f(a) = f(b) spreekt men van de stelling van Rolle en dan wordt het dus: er is een c te vinden met f'(c) = 0

Je functie f(x) = ¹/₂x - Ö(x) voldoet hier aan.
Het is een 'nette' functie die op het interval [0,4] geen problemen zal geven, f(0) = f(4) = 0 en de afgeleide f'(x) = ¹/₂ - 1/(2Ö(x)) is ook probleemloos op dat interval.
Kortom: zoek een c waarvoor f'(c) = 0, wat neerkomt op f'(x) = 0 oplossen.

Bij je tweede functie weet ik niet wat je bedoelt met ^[x1,x2).
Ik neem aan dat er een willekeurig interval wordt bedoeld en omdat de functie 'slechts' van de tweede graad is, zijn er geen problemen met het bestaan van de functie of van zijn afgeleide.
Lagrange zegt dus: er is een r te vinden waarvoor f(q) - f(p) = (q-p).f'(r)
wat neerkomt op a(q²-p²) + 2(q-p) = (q-p).f'(c)
Gebruik nog dat q² - p² = (q-p)(q+p) en dan loopt het verder wel op Rolletjes, denk ik.

MBL

MBL
28-9-2008