WisFaq!

Primitieve bepalen van een functie in een functie

ik wil de primitieve bepalen van de volgende functie:

2 · Ö(1 + t²)

De primitieve 4/3 (1 + t²)³/2 is niet juist, omdat vanwege de kettingregel bij het afleiden van deze functie nog vermenigvuldigd moet worden met 2t.

Hoe kan ik 2t wegwerken ?

Wie kan me helpen ?

marojo
13-9-2008

Antwoord

Niet alle integralen zijn op te lossen via het formuletje voor veeltermen

Als je 1+t² ziet staan, zal je (na enige vertrouwdheid met integralen) meteen de substitutie t = tan(x) willen doorvoeren. Dan krijg je 1+t² = 1+tan²(x) = 1/cos²(x) en dt = dtan(x) = dx/cos²(x), zodat 2Ö(1+t²)dt = 2dx/cos³(x). Deze integraal is nu niet meer zo moeilijk; schrijf y = sin(x), en dan verschijnt er 2dx/cos³(x) = 2cos(x)dx/cos⁴(x) = 2dy/(1-y²)²; en dan is het breuksplitsen geblazen!

cd
13-9-2008