WisFaq!

Diagonaliseerbaarheid van een geparametriseerde matrix

gegeven is de matrix A =

3a-2   -4a+4  2a-2
a-1    -a+2   a-1
-a+1   2a-2   1

we moeten de waarde van a bepalen waarvoor matrix A diagonaliseerbaar is.
hoe begin ik aan zoiets?
ik heb via det(A-lI) =0 de vergelijking bekomen in functie van l en a. maar hoe bepaal je dan hieruit het domein? en de waarde van a woorvoor A diagonaliseerbaar is?
of zoek ik het te ver?
hartelijk bedankt.

l
26-8-2008

Antwoord

Ik heb het alleen maar even met de computer uitgewerkt, maar daaruit blijkt dat de eigenwaarden in het algemeen gegeven worden door 1, a en a. Dus je karakteristieke veelterm kan je mooi ontbinden. Je weet dat als je drie verschillende eigenwaarden hebt, dat dan je matrix zeker diagonaliseerbaar is. Maar dat is hier dus niet het geval, a komt dubbel voor. Je ziet dat er twee gevallen zijn die je apart kan behandelen: ofwel a=1, dan heb je de drievoudige eigenwaarde 1; ofwel a¹1 dan heb je de enkele eigenwaarde 1 en de dubbele eigenwaarde a.

a=1 is eenvoudig, je vult a=1 in in de matrix, je bepaalt de eigenvectoren bij eigenwaarde 1, als er drie onafhankelijke zijn dan is A diagonaliseerbaar, anders niet. Als het goed is vind je maar één onafhankelijke eigenvector, dus A is niet diagonaliseerbaar als a=1.

a¹1 dan weet je dat je een eigenvector hebt bij de eigenwaarde 1, maar die is hier niet interessant. Je moet de eigenvectoren zoeken bij de eigenwaarde a, want die komt dubbel voor dus de eigenruimte die daarbij hoort kan dimensie 1 hebben (dan is A niet diagbaar) of dimensie 2 (dan is A diagbaar). Dus als je twee onafhankelijke eigenvectoren vindt dan is A diagonaliseerbaar, anders niet. Als het goed is zou je er in dit geval altijd twee onafhankelijke moeten vinden, bijvoorbeeld (2,1,0) en (1,0,-1).

Groeten,
Christophe.

Christophe
27-8-2008