WisFaq!

Re: Re: Re: Toon aan dat de rij divergeert

Juist! Nu snap ik hem. Stom dat ik dat niet eerder doorhad.
vriendelijk bedankt voor de hulp.

Barry Dogger
15-8-2008

Antwoord

Je kan de studie van het verband vervolledigen door je af te vragen wat er gebeurt als je met iets anders dan a(0)=20 begint. Eigenlijk gaat het om de studie van de functie f(x) = 1/(3-x)+5, zodat a(n)=f(a(n-1))=f(f(f(..f(a(0))...))), met n keer toepassing van de functie f (laat ons dat even g(n,a(0)) stellen).

Je kan gemakkelijk aantonen dat a(n) = g(n,a(0)) = [n(4a(0)-16)+a(0)] / [n(a(0)-4)+1]. Als n naar oneindig gaat, gaat die inderdaad naar (4a(0)-16)/(a(0)-4) = 4, wat a(0) ook weze.

In principe zou je er nog de mogelijkheden moeten uithalen waarin een "oneindige" term zou optreden, met andere woorden de rijen waarvoor er een of andere a(j)=3 bestaat. Wel, los 3 = [j(4a(0)-16)+a(0)] / [j(a(0)-4)+1] op naar a(0) en bekom a(0) = 4 - 1/j. Voor de beginwaarden 3,7/2,11/3,15/4,19/5,... (een oneindig aantal, maar ze liggen wel allemaal in het interval [3,4[) zal je dus strikt genomen niet naar 4 convergeren, maar een "onbepaalde" term in de rij tegenkomen.

cl
15-8-2008