WisFaq!

Vraag over de integraal van 1/(1-t)

hallo,
ik heb maandag een proefwerk wiskunde en ik zou het op prijs stellen dat jullie mij zouden kunnen helpen.
Mijn leerkracht heeft de oplossing gegeven maar ik kan er niet aan uit.

de opgave is:
òcosx . ln(cos(x)) dx

het eerste wat we doen is partiële integratie (dat zal ik overslaan) en dan bekomen we:

sin(x) . ln(cos(x)) + ò((t²)/(1-t²))dt
= sin(x) . ln(cos(x)) + ò( (1-(1-t²))/ (1-t²) ) dt
= sin(x) . ln(cos(x)) + ò (1 / (1-t²))dt + ò 1 dt

als tussenschrijft de leerkracht:
1 / (1-t²) = (A / 1- t) + (B/(1+t))
-- A = B = 1/2

dus:

= sin(x) . ln(cos(x)) + 1/2 ò (1/(1-t)) dt
+ 1/2 ò(1/(1+t)) dt + t

= sin(x) . ln(cos(x)) - 1/2 ln |1-t| + 1/2 ln |1+t| + t + c

Mijn vraag is nu:
hoe komt hij in de laatste stap aan " - 1/2 ln |1-t|" moet daar normaal geen plus staan?? maar anderzijds als men een minteken zet krijgen we dan:
- 1/2 ln |1-t| + 1/2 ln |1+t| =
ln Ö((1 + sinx)/(1 -sinx))

Zou er iemand mij zo vlug mogelijk willen helpen
dank bij voorbaat !!!

Philippe
14-6-2008

Antwoord

De stilzwijgende substitutie 1-t = u, die er voor zorgt dat het integrandum 1/u is en dus tot ln|u| leidt, betekent ook dat -dt=du. Met andere woorden: òdt/(1-t) = ò-du/u = -ln|u| + C

cl
14-6-2008