WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 17 september 2021

Bewijs voor de formule van Euler

Hallo,
Ik had vandaag een mailtje van jullie gehad voor het bewijs van de stelling van Euler, het probleem is alleen, ik heb hem in het Engels gekregen van jullie, maar ik ben niet zo goed in Engels en begrijp het bewijs niet. Nu wou ik vragen of jullie het misschien in het Nederlands kunnen geven voor me. Ik hoop dat het niet te veel moeite is. Groetjes Sandra

Sandra
8-11-2001

Antwoord

Een aanzet voor een bewijs:

1.
Met P:punten, Z:zijden en V:vlakken geldt voor een veelhoek in het platte vlak: P=n, Z=n en V=2, zodat geldt: P+V=Z+2
(V=2, omdat de figuur het platte vlak in 2 gebieden verdeelt)

Voorbeeld:

q556img1.gif

P=5
V=2
Z=5
5+2=5+2? Ja!

2.
Als we twee veelhoeken met een zijde aan elkaar plakken dan geldt:
(P1+P2-2)+3=(Z1+Z2-1)+2
(P1+P2)+5=(Z1+Z2)+3
(P1+P2)=(Z1+Z2)+2

Voorbeeld:

q556img2.gif

P1=5
Z1=5
V=3
P2=4
Z2=4
Z2=1
(5+4-2)+3=(5+4-1)+2?
7+3=8+2? Ja!

(3 vlakken? je kunt beter spreken over 3 gebieden... het blauwe, het paarse en het 'buitengebied')

3.
Met dit aan elkaar plakken van veelhoeken kan je door gaan. En steeds geldt: P+V=Z+2

q556img3.gif

4.
Het uitrekken of inkrimpen van zijden van de verschillende veelhoeken doet geen afbreuk aan de waarden van P, V en Z, zolang de lengte van een zijde maar geen nul wordt.
Je kunt zelfs alle veelhoeken weer onderverdelen in driehoeken, maar steeds blijft gelden: P+V=Z+2

5.
Een (convex) lichaam kan je op een speciale manier 'plat slaan' zodat je een plat figuur krijgt die ook voldoet aan P+A=Z+2. Die P's zijn de hoekpunten, die V's zijn het aantal vlakken en de Z's zijn de ribben. Dus geldt: H+V=R+2.

Voorbeeld:

q556img4.gifq556img5.gif

In de rechter figuur:
P=8
V=6
Z=12
8+6=12+2 klopt!

In de linker figuur:
H=8
V=6
R=12
8+6=12+2 klopt!

Zie Nineteen Proofs of Euler's Formula [http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/]

WvR
15-11-2001


© 2001-2021 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#556 - Bewijzen - Leerling bovenbouw havo-vwo