WisFaq!

De aftelbare complementen topologie

beste (kp?:))

Stel de topologie van de aftelbare complementen,
T={AÍX|X/A is aftelbaar } È {Æ}

Mijn vraag is nu, stel dat een xÏA, wetende dat elke verzameling A in T dicht is in X, dus xÎcl(A), dat er dan geen rij convergeert naar x in A.

ik heb zo het gevoel dat dit is omdat er geen aftelbare omgevingenbasis voor de rij is, maar ik geraak niet echt verder.

winny o'kelly
8-5-2008

Antwoord

Winny,
niet elke verzameling is dicht: elke aftelbare verzameling is gesloten, dus als A aftelbaar is en niet gelijk aan X dan is X\A niet-leeg, open en disjunct van A.
Als x een punt is en (x_n) een rij met x_n ngelijk aan x voor alle n dan convergeert die rij niet naar x: de verzameling O=X\{x_n:n in N} is open, x zit er in en de rij blijft er buiten.
Je gevoel werkt de verkeerde kant op: juist omdat er geen niet-triviale convergente rijen zijn heeft (als X overaftelbaar is) geen enkel punt een aftelbare omgevingenbasis

kphart
8-5-2008