WisFaq!

Opstellen DV en het oplossen er van

Geachte hulpverlners,

Gezocht worden de vergelijking(en) van de krommen C die met de lijn y=x de volgendeeigenschap gemeen hebben. De kromme C ligt in kwadrant I en begint in de Oorsprong. Zodra een punt P op C gekozen wordt, vorm de rechthoek met P als rechterboven hoekpunt en O het linkerbeneden hoekpunt en zo dat de zijden door P evenwijdig lopen met de coordinaatassen. De kromme C verdeelt nu de rechthoek in twee gebieden I en II. Laat I het deel zijn dat grenst aan de X-as; wentel dit deel om de X-as. Deel II grenst aan de Y-as; wentel dit deel om de Y-as. Nu is gegeven dat beide omwentelingslichamen dezelfde inhoud hebben.
N.B.: De DV waar ik op uitgekomen ben is y²dx=x²dy met als oplossing y(x)=x/(1-cx). Bij narekenen koos ik c=-¹/₄, wat resulteert in y(x)=4x/(4+x). Hiermee kon ik aantonen dat voor het punt P(4,2) de bewering VI = VII = 96-128ln2 klopte. Maar in het algemeen is het volgens mij niet waar, want VI=p[16x(x+18)/(x+4)-128ln[(x+4)/4] terwijl
VII=p[16x(x+18)/(x+4)-128ln[16/(x+4)]

Gaarne hulp!

M. Wielders
3-5-2008

Antwoord

Het algemene antwoord voor VI klopt niet met het antwoord voor x=4: de 18 moet 8 zijn. Het antwoord bij VII kan ik niet verklaren maar er is waarschijnlijk een fout gemaakt bij het integreren. Bij het afleiden van de DV heb je ongetwijfeld gebruik gemaakt van het feit dat na substitutie van u=f^-1(y) (en dus y=f(u)) de integraal voor VII overgaat in pi*int(u²*f'(u),u=0..x). Werk deze integraal netjes uit en je krijgt, met f(u)=4u/(u+4) uit op pi*int((f(u))²,u=0..x) en dat is nu net de formule voor VI.

kphart
4-5-2008