WisFaq!

Ideaal theorie

weet iemand waarom dat een commutatieve ring een lichaam of veld is = {0} het enige ideaal in de ring is?

winny

winny o'kelly
24-4-2008

Antwoord

Je moet laten zien dat de vermenigvuldiging van de ring R een 1 heeft en dat voor elke x ongelijk 0 een y bestaat met xy=1.
Laat x ongelijk aan 0 zijn.
Stap 1: Het ideaal (x) voortgebracht door x is niet (0), en dus (x)=R; er is dus een e in R met ex=x (e is voorlopig afhankelijk van x).
Stap 2: Het ideaal {z:xz=0} is niet de hele ring, dat volgt uit Stap 1, dus is het (0); dit impliceert dat y-yx injectief is en, met Stap 1, zelfs bijectief. De e uit Stap 1 is dus uniek; noteer hem als e_x.
Laat nu x en y willekeurig en ongelijk aan 0 zijn. Er is een z zó dat y=xy (Stap 1); daaruit volgt dat e_xy=e_xxz=xz=y en dus e_x=e_y. Er is dus één e zó dat ex=x voor alle x. Wegens Stap 1 bestaat voor elke x ongelijk 0 een y met xy=e.
Klaar

kphart
24-4-2008