WisFaq!

Re: Integraal

Hartelijk dank!

In de vraag ontbraken de integratiegrenzen deze waren zoals correct door u aangenomen 1 en 0.

Onder aanname van "de gegeneraliseerde eerste middelwaardestelling van de integraalrekening" (G1MSI) is het resultaat eenvoudig. Ik heb nog nooit van deze stelling gehoord, laat staan dat deze in het boek voorkomt. Ik kan mij niet voorstellen dat het boek het gebruik van dit resultaat zomaar toestaat. Daarom de volgende vraag.

Uit welke resultaten/stellingen is G1MSI afleidbaar? (en hoe?).

Groeten,

Joost
9-4-2008

Antwoord

De stelling is in elk analyseboek te vinden, lijkt me. Een korte aanduiding van de bewijsvoering is de volgende. Alle integralen hebben a en b als grenzen.
Volgens de middelwaardestelling voor integralen geldt dat
òf(x)dx = (b-a).f(c) waarbij c Î[a,b]
Als je deze stelling toepast op een integrand van de vorm f(x).g(x) (waarbij g(x)0 wordt verondersteld op [a,b]), dan levert dat de volgende ongelijkheid op.
In de eerste plaats geldt m.g(x)f(x).g(x)M.g(x) waarin m en M het minimum/maximum van functie f zijn. De veronderstelde continuïteit van f garandeert dat m en M bestaan.
Integrerend krijg je dan: m.òg(x)dx òf(x).g(x) M.òg(x)dx en dat is te schrijven als òf(x).g(x) = f(c).òg(x)dx met c in [a,b].

MBL
10-4-2008