WisFaq!

Kritische punten van functies met meerdere variabelen

(e) f : $\mathbf{R}$² $\to$ $\mathbf{R}$ : (x, y) $\to$ f(x, y) = xy − ln(x² + y²)

(f) ft : $\mathbf{R}$ $\to$ $\mathbf{R}$ : (x, y) $\to$ f(x, y) = x³ − 3txy + y³

Dit is hoever ik gekomen ben in beide oef (e en f):

e) ^$\partial$f/_$\partial$x= y - ^2x/_{x²+ y<sup>2}

$\partial$f</sup>/_$\partial$y= x - ^2y/_{x²+ y²}

Om de kritische punten te vinden, moet je de twee vorige partiële afgeleiden gelijkstellen aan nul, zodat je x of y eruit kan halen en zo de kritische punten kan vinden.
Alleen weet ik niet hoe ik dit stelsel met deze 2 vergelijkinen =0, moet oplossen.
Om dan te bepalen welk soort kritisch punt het is (min/max/zadelpunt) hebben wij geleerd om te werken met de matrix van Hesse.

f)
^$\partial$f/_$\partial$x= 3x² - 3ty

^$\partial$f/_$\partial$y= 3y²-3tx

Kunnen jullie me hier bij helpen?

Alvast bedankt

Alexander Claeys
6-4-2008

Antwoord

Dag Alexander,

Bij het oplossen van zulke niet-lineaire stelsel moet je inderdaad soms wat kunstgrepen uithalen. Bij oefening e bijvoorbeeld, als je allebei de partieel afgeleiden gelijk aan nul stelt, krijg je y=2x/(x²+y²) en x=2y/(x²+y²). Wat meteen opvalt is de noemer x²+y² in beide rechterleden. Deze zal wegvallen als je de vergelijkingen lid aan lid door elkaar deelt: je krijgt dan y/x=2x/(2y) of y²=x², dus y=x of y=-x. Vul deze dan eens apart opnieuw in in je stelsel, dan krijg je eenvoudiger vergelijkingen en zal je wel een of meerdere oplossingen bekomen. Al is het hier zo dat y=x altijd beide partieel afgeleiden nul maakt, dus elk punt van de vorm (k,k) met k een reëel getal, is kritisch. En dat is eigenlijk achteraf gezien geen verrassing, aangezien de functie f dezelfde blijft als je x en y omwisselt...

Bij de tweede kan het makkelijker: die t is veronderstel ik een parameter, maar dan nog kan je uit de eerste halen dat x²/t=y en uit de tweede dat y²=tx. Vervang in de tweede y door x²/t, dat geeft x⁴/t²=tx dus x³=t³, dus x=t, dat geeft dan ook meteen y=t want y=x²/t=t²/t=t. Dus kritisch punt (t,t).

Om de aard van het kritisch punt vast te stellen kan je dan idd met de hessiaan werken.

Groeten,
Christophe.

Christophe
7-4-2008