WisFaq!

Volledig inductie bewijs voor S(n)

Gegeven is een uitspraak S(n) waarin een natuurlijk getal n Î₀ voorkomt
Vb) 1+2+3+...+(n-1) + n = ¹/₂n(n+1)
Om aan te tonen dat S(n) waar is voor elke nÎ ₀ wordt vaa de methode van de volledige inductie gebruikt. Ze werkt als volgt:
a) Toon aan: S(1) is waar
b) Toon aan: S(k) is waar = S(k+1) is waar
c) Uit a en b volgt (S1) is waar, S(2) is waar, S(3) is waar.

Meestam gebruikt men na a en b een fundamentele eigenschap van de natuurlijke getallen (een axioma van Peano): Een uitspraak die geldt voor het getal 1 en die, als ze geldt voor een natuurlijk getal, dan ook geldt voor het volgend getal, deze uitspraak geldt voor alle elementen van ₀.

Opdracht: bewijs in het algemeen voor de opgegeven waarden en voor het voorbeeld vermeld boven.

Mijn vraag: ik snap dus dat ik de waarden 1 en k zal moeten invoeren in het voorbeeld en Linkerlid met rechterlid ga moeten vergelijken. Maar hoe bewijs ik met volledige inductie dit in het algemeen? Volledige inductiemethode hebben we nog niet behandeld bij wiskunde...

Hartelijk bedankt voor enige hulp!

Nagare

Nagare
17-3-2008

Antwoord

Beste Nagare,
Je schrijft zelf al op wat de methode van volledige inductie is: a,b en c.
c gaat nog veel verder dan s(3), want als s(3) waar is , dan ook s(4) en vervolgens s(5), enz.
Dat is de volledige inductie, die begint met k=1 en dan volgt k=2,k=3, enz.

a) voor n=1: 1= ¹/₂·1(1+1). Klopt dat?
b) Stel: het is waar voor de een of andere waarde van n.
We noemen die "een of andere waarde van n" voor het gemak k.
Dan geldt: 1+2+3+....+k= ¹/₂·k(k+1)

Maar nu loopt de reeks tot en met n=k+1.
Dan krijg je:
(1+2+3+....+k)+(k+1)= ¹/₂·k(k+1)+(k+1)
Maar als je in de te bewijzen stelling: S(n)=1/2n(n+1)
invult: n=k+1, dan krijg je:
S(k+1)=1/2(k+1)(k+1+1)
Nu moet jij aantonen dat geldt:
¹/₂·k(k+1)+(k+1)=1/2(k+1)(k+1+1)
Dan heb je b bewezen.
Zo duidelijk?
Zoniet, dan hoor ik het wel.
Succes,
Lieke.

ldr
17-3-2008